Antecedent (matematica)

In matematica, daa düü insema minga vöj E, F e una aplicaziun $f:E\to F$, se 'l ciama antecedent (cun f) d'un element y de F tücc i element x de E tal che $f(x)=y$.

Un antecedent a l'è, dunca, per definiziun, un element de l'imagin recipruca $f^{-1}(\{ga\})$.

Esempi

• Sien la funziun $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto x^2$ e y un real.

Si y > 0, y l'amet düü antecedent, che hin $\sqrt{y}$ e $-\sqrt{y}$

Si y = 0, y l'amet dumà un antecedent, che l'è 0

Si y < 0, y l'amet nissün antecedent

• Sien E un insema minga vöj, e una aplicaziun $f:E\to 𝒫(E)$, induve $𝒫(E)$ el designa el insema dai part de E. Se 'l definiss $Y=\{x\in E/x\in ̸f(x)\}$ : Y a l'è una part de E, cugnussüü anca cume un element del insema $𝒫(E)$.
  

Quest element l'amet nissün antecedent per f. In efet, süpusem che un tal antecedent $x_0\in E$ l'esista. Se gh'ha dunca $f(x_0)=Y$.

Düü cas hin pussibil :

$x_0\in Y$, vargot che 'l vör dì (per definiziun de Y) che $x_0\in ̸f(x_0)$, o $x_0\in ̸Y$

$x_0\in ̸Y$, vargot che 'l vör dì (par definiziun de Y) che $x_0\in f(x_0)$, o $x_0\in Y$

In di düü cas, se riva a una cuntradiziun , vargot che 'l pröva par l'assürd che Y el gh'ha minga d'antecedent (cf. l'argument de la diagunala de Cantor).

Imagin d'un insema per una aplicaziun

Sien una aplicaziun $f:E\to F$ e A un sübinsema da E. Se la ciama 'imagin de A per f el insema di element y de F che ameten almanch un antecedent partegnind a A ; se la nota $f(A)$:

$f(A)=\{y\in F/\mathrm{\exists }x\in A,y=f(x)\}$.

In particular, l'imagin de E par f, ciamada imagin de f, a l'è 'l insema di element y da F che ameten almanch un antecedent :

$f(E)=\{y\in F/\mathrm{\exists }x\in E,y=f(x)\}$.

Ingeziun, sürgeziun, bigeziun

La sia un'aplicaziun $f:E\to F$.

• Se dis che f a l’è ingetiva, o che a l'è una ingeziun, se tüt element de F a l'amet al pü un antecedent.
• Sa dis che f a l'è sürgetiva, o che a l'è una sürgeziun, se tüt element de F a l'amet almanch un antecedent, i.e. si

$f(E)=F$.

• Sa dis che f l'è bigetiva, o che l'è una bigeziun, si tüt element de F a l'amet un antecedent e dumà vün, i.e. se f l'è cuntempuraneament ingetiva e sürgetiva.

In 'stu caas, se pò definì l'aplicaziun $f^{-1}:F\to E,y\mapsto x$, induve x a l'è l'ünica antecedent da ‘‘y’’ par f. A l'è anca una bigeziun, ciamada recipruca de f.

(l'esempi vidüü pü in alt el mustra che l'esist vargüna aplicaziun sürgetiva $f:E\to 𝒫(E)$).

Videe anca

• Ingeziun
• Sürgeziun
• Bigeziun