Símbul da Levi-Civita

Modell:O Modell:OCC Intal càlcül tensuriaal, s'al definiss ul símbul da Levi-Civita, apó numenaa símbul da permütazziun, in la furma segueent:

${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{si}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\ -1& \text{si}(i,j,k)=(3,2,1),(1,3,2),(2,1,3)\\ 0& \text{si}i=j\text{u}j=k\text{u}k=i\end{array}$

Al cata ul sò nomm dal Tullio Levi-Civita e s'al dövra in matemàtica e física: par esempi, in àlgebra lineara, ul prudüit veturiaal da düü vetuur s'al pöö scriif cuma:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i,j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{𝐞}_{𝐢}{a}_j{b}_k$

u, plüü simplameent:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=𝐜,c_i=\sum _{j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k={ϵ}_{ijk}{a}^j{b}^k$

intúe, in la darera identitaa, a emm druvaa la nutazziun da Einstein, cunsisteent a umett ul seegn da sumatòria paj índes repetüü. Ul tensuur i cumpuneent dal quaal i è daa dal símbul da Levi-Civita s'al nòmena a vöölt tensur da permütazziun (Al cuventa nutá, però, ch'al seguiss i regul da trasfurmazziun tensuriala da curdenaat noma par cambiameent da curdenaat cunt urientazziun pusitiva: oltrameent al pariss un seegn 'maanch').

Ul símbul da Levi-Civita s'al pöö generalizá a dimensiun plüü òolt:

${ϵ}_{ijkl\dots }=\{\begin{array}{cc}+1& \text{si}(i,j,k,l,\dots )\text{perm.}\text{parella}\text{de}(1,2,3,4,\dots )\\ -1& \text{si}(i,j,k,l,\dots )\text{perm.}\text{senar}\text{de}(1,2,3,4,\dots )\\ 0& \text{si}\text{dos}\text{indexs}\text{igual}\end{array}$