Divergenza

Modell:MILCLASS In del calcol differenzial vettoriàl, la divergenza a l’è on camp scalà che ‘l misura la tendenza d’on camp vettorial a desvià o a tend a andà vèrs un pont ùnegh del spazzi.

El valor de la divergenza de on vettór $𝐅$ ind ona cèrta posizion l’è tiràa foeura per mèzz de on operador differenzial, insegnàa con $\mathrm{\nabla }\cdot$ o $\mathrm{div}$, che ‘l forniss ‘na quantità scalà $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ (o $\mathrm{div}𝐅)$. In coordinad cartesian quèlla quantità chì a l’è la sòma di derivàd parziaj di component de $𝐅$ adrée ai direzion di ass.

Per esempi, se a se considera on camp vettorial in dò direzion che ‘l rappresenta la velocità de l'acqua che gh’è dent in ona vasca (conel consierà 'na soa sezion vertical) che l’è ‘drée a svojàss, la divergenza la gh’hà on valór negativ (o ben a l’è ‘na convergenza) in vesinanza del scarich (se quèsstchì l’è al center de la vasca). Lontan del scarich la gh’hà inveci on valor arent a zero dato che la velocità de l’acqua l’è quasi costanta. Se a se suppònn che l'acqua la sìa ‘na sostanza che la pò nò vèss comprèssa, ind ona region indoe a gh’è minga di pozz che la pò vèss scaregada oppùr sorgent che la mètten denter, la divergenza l’è nagòtt in depertutt. On camp vettorial che ‘l gh’abìa nagòtt de divergenza in depertutt l’è ciamàa solenoidal. On esempi de camp vettorial solenoidàl a l’è el camp magnetich, inscì ‘me stabilìi di equazion del Maxwell. Defàtt, per el camp magnetich i esisten minga di sorgent statich (monopòli magnetich).

Definizion

La divergenza a l’è ‘na quantità scalà che la detèrmina la tendenza di lìnej de fluss de on camp vettorial a suttà a vesinàss vèrs ‘na sorgent (convergenza o divergenza negativa) o a desviàss quand che inveci se slontanten (divergenza). Quèl contegn chì el pò vèss descrivùu se a se considera ona region de spazzi e se ossèrva el fluss (in sortida o in entrada) del camp vettorial travèrs ‘na superfice (ciusa) che la contorna quèlla region là: se el fluss l' in sortida el se compòrta compagn ch'a ghe fudèss ‘na "sorgent" denter ind la region, inscambi se l’è in entrada compagn che ‘l ghe fùdèss on "pozz". La definizion de la divergenza de on camp l’è ottenuda cont el considerà el caso che la region de spazzi la se restréng fin a diventà on pont: a l’è el lìmit, per el volùmm de la region che ‘l tend a zero, del rappòrt tra el fluss del camp travèrs la superfice e ‘l volùmm medèmm.

Formalment, senza fàgh riferiment a on sistèma de coordinad particolar, la divergenza d’on camp vettoriàl $𝐅$ in del pont $p$ a l’è pari al fluss de $𝐅$ travèrs la frontéra liscia $S(V)$ de ‘na region spazial $V$, divìs per el volùmm $|V|$ de $V$, in del lìmit indoe la dimension de la region la diminuìss fin a fala diventà l’istèssa del pont $p$. O ben, se tratta de l'integral:

$\mathrm{div}𝐅(p)=\underset{V\to \{p\}}{\lim }\frac{1}{|V|}\underset{S(V)}{\int }𝐅\cdot 𝐧dS$

indoe $𝐧$ a l’è el vettor unitari normal a la superfice $S(V)$ e che ‘l gh’hà on vèrs che 'l varda defoeura. La definizion de prima a l’è ‘n’espression del teorema de la divergenza, second el quàl el fluss de $𝐅$ travèrs la superfice ciusa $S(V)$ l’è l'istèss de l'integral de la divergenza de $𝐅$ risòlt in del volùmm $V$.

Con quèlla definizion chì la divergenza la ciapa el significàa de derivada spazial de on camp vettorial, e con quèst a se voeur dì ona sòrta de rappòrt de cressiment sora on insèma, che de definizion, el tend a zero. El valor zero el riess alora a descriv la conservatività del camp $𝐅$ quand che quèst chì el rappresenta on camp de velocità. Quand che a se considera el traspòrt de materia, per esempi, ghe se fà corrispond al camp vettorial la velocità di partìcol, e per descriv la conservazion de la materia a se dopera el teorema de la divergenza che ‘l permètt de stabilì che la variazion in del cors del temp de la densità de materia denter in del volùmm $V$ a l’è eguàl del fluss de materia che ìl va denter e foeura travèrs $S(V)$. Quèst l’è descrìtt in forma local per mèzz de l'equazion de continuità.

’Na funzion vettorial e la soa divergenza rappresentada ‘me camp scalà (el ross l’insegna el maggior, el verd l’insegna el minor).

Se a se considera on spazzi euclideo a trii direzion, che ‘l gh’hà $𝐢$, $𝐣$ e $𝐤$ 'me vettor unitari relativi ai ass $x$, $y$ e $z$ , la divergenza de on camp vettorial continuv e differenziabil $𝐅=F_1𝐢+F_2𝐣+F_3𝐤$ l’è quèlla funzion scalà chì:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$

La scrittura $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ la servìss domà de tegnìla mèj in coo, de già che el pont el rappresenta l'operazión del prodòtt scalà tra l'operador nabla e ‘l camp $𝐅$: con l’aplicà formalment i definizion di du tèrmen e del prodòtt scalà el risultàa a l’è la definizion de $\mathrm{div}𝐅$, ma se tratta franch de ‘n’abus de notazion e minga de on prodòtt scalà ben definì Restando in coordinad cartesian, la divergenza de on camp tensorial $\underset{\_}{\underset{\_}{\epsilon }}$ del second órdin differenziabil con continuità a l’è on camp tensorial del primm órdin:

$\overrightarrow{\mathrm{div}}(\underset{\_}{\underset{\_}{\mathit{\epsilon }}})=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial {\epsilon }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\epsilon }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\epsilon }_{zx}}{\partial z}\\ \frac{\partial {\epsilon }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\epsilon }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\epsilon }_{zy}}{\partial z}\\ \frac{\partial {\epsilon }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\epsilon }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\epsilon }_{zz}}{\partial z}\end{array}\right]$

Se a se considera inveci on camp vettorial scrivùu in tèrmen de coordinad cilindrich $𝐅={𝐞}_r{F}_r+{𝐞}_z{F}_z+{𝐞}_{\theta }{F}_{\theta },$, la divergenza l'è:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{F}_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

A la fin, in coordinad sferich, indoe $\theta$ a l’è l'angol rispètt a l'ass $z$ e $\varphi$ el girament intorna de l'ass $z$, la divergenza a l’è:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{F}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta F_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }$

El generalizzà

La divergenza a l’è on caso particolar de la derivada estèrna, quand che quèsta chì la mappa ‘na 2-forma ind ona 3-forma in ${ℝ}^3$. Considerèmm ‘na 2-forma:

$j=F_{1}dy\wedge dz+F_{2}dz\wedge dx+F_{3}dx\wedge dy,$

che, per esempi, in del caso del traspòrt de materia la misura l'aument de partìcol che l’intravèrsen la superfice per unitàa de temp ind on fluid de densità $\rho =1dx\wedge dy\wedge dz$ che ‘l se moeuv de velocità local $𝐅$. La soa derivada estèrna $dj$ a l’è:

$dj=(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz=(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)\rho$

La divergenza de l’ $𝐅$ la pò donca vèss scrivuda ‘me:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\star 𝐝\star {𝐅}^{\mathrm{♭}}$

indoe $\mathrm{♭}$ el denòta vun di du isomorfismi musicaj, e $\star$ el denòta el doal de l'Hodge.

Considerèmm adèss ‘na varietà de misura $n$ cont ‘na forma de volumm $\mu$, per esempi ‘na varietà riemanniana o lorentziana. Dato on camp vettorial $X$, quèst el difinìss ‘na $n-1$ forma $j=i_X\mu$ ottegunada cont el trà insèma $X$ con $\mu$. La divergenza $\mathrm{div}(X)$ de $X$ rispètto al $\mu$ a l’è definida inscì:

$dj=\mathrm{div}(X)\mu .$

Cont el doperà la derivada del Lie ${ℒ}_X\mu$ a se pò scriv:

${ℒ}_X\mu =\mathrm{div}(X)\mu .$

In su ‘na varietà riemanniana o lorentziana la divergenza rispètt a la forma de volum la pò vèss calcolada in tèrmen de la connession del Levi-Civita $\mathrm{\nabla }$:

$\mathrm{div}(X)=\mathrm{\nabla }\cdot X=X_{;a}^a,$

‘doe la seconda espression è la contrazion de la 1-forma $\mathrm{\nabla }X$ a valor ind on camp vettorial con lee medèsima.

La divergenza la pò anca vèss generalizzada ai tensore. In de la notazion de l'Einstein la divergenza de on vettor controvariant $F^{\mu }$ a l’è:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{F}^{\mu }.$

‘doe ‘l ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }$ l’è la derivada covarianta. A l’istèssa manera, on quaj autor le definiss la divergenza de on tensor mist per mèzz de la "notazion musical #", o ben se el $T$ a l’è on tensor dl tipo $(p,q)$, cont el $p$ che l’è l’indes de controvarianza e $q$ quèll de covarianza, alora la divergenza del $T$ a l’è el tensor del tipo $(p,q-1)$:

$(\mathrm{div}T)(Y_1,\dots ,Y_{q-1})=\mathrm{tr}(X\mapsto \mathrm{\#}(\mathrm{\nabla }T)(X,\cdot ,Y_1,\dots ,Y_{q-1})).$

Teorema de scomposizion

Modell:Varda anca On camp vettorial regolàr assée, a l’è del tutt determinàa quand che la soa divergenza e ‘l sò rotór ind ògni pont del sò domini a hinn conossùu. De fàtt a se pò fa vedè che ògni fluss stazionari $𝐯(𝐫)$, che ‘l sia differenziabil almanc dò vòlt in ${ℝ}^3$ e che ‘l vaga a zero in manera assée a la svèlta per $|𝐫|\to \mathrm{\infty }$, el pò vèss spartìi ind ona part irrotazional $𝐄(𝐫)$ e ‘na part solenoidal $𝐁(𝐫)$.

Per la part irrotazional:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(𝐫)$

con:

$\mathrm{\Phi }(𝐫)=\underset{{ℝ}^3}{\int }{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\frac{\mathrm{div}𝐯({𝐫}^{\prime })}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$

Per la part solenoidal l’è assée a rimpiazzà, in di espressioni de prima, el potenzial scalà $\mathrm{\Phi }(𝐫)$ cont on potenzial vettor $𝐀(𝐫)$, el gradient $-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$ cont el rotór $\mathrm{\nabla }\times 𝐀$ e $\mathrm{div}𝐯$ con $\mathrm{\nabla }\times 𝐯$. A l’è on caso speciàl de la scomposizione de l’Helmholtz o teorema de l’Helmholtz.

Proprietà

Modell:Varda anca La divergenza a l’è on operador lineàr, o ben:

$\mathrm{div}(a𝐅+b𝐆)=a\mathrm{div}(𝐅)+b\mathrm{div}(𝐆)\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$

per ògni cobbia de camp vettoriaj $𝐅$ e $𝐆$, che ‘l gh’hà quèj proprietàa chì:

• A gh’è ‘na regola del prodòtt inscì che se el $\phi$ a l’è ‘na funzion a valor ind on camp de scalà e $𝐅$ a l'è on camp vettoriàl alora:

$\mathrm{div}(\phi 𝐅)=\mathrm{grad}(\phi )\cdot 𝐅+\phi \mathrm{div}(𝐅)$

che a se pò scriv anca ‘me:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\phi 𝐅)=(\mathrm{\nabla }\phi )\cdot 𝐅+\phi (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)$

• La divergenza del prodòtt vettorial a l’è:

$\mathrm{div}(𝐅\times 𝐆)=𝐆\cdot \mathrm{rot}(𝐅)-𝐅\cdot \mathrm{rot}(𝐆)$

che ‘l se pò scriv anca inscì:

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐅\times 𝐆)=𝐆\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)-𝐅\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐆)$

• El laplacian de on camp scalà a l’è la divergenza del sò gradient:

$\mathrm{div}(\mathrm{\nabla }\phi )={\mathrm{\nabla }}^2\phi$

• La divergenza del rotór di qualsessia camp vettorial in 3 direzion a l’è zero:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)=0$

Esempi

Coordinad polar pian

Coordinad polar

In ${ℝ}^2$ pòdom introdù di alter sistèma de riferiment ‘me quèll polàr:

$\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \varphi \\ y=\rho \sin \varphi \end{array}$

‘doe ‘l $\rho$ el rappresenta la coordinada radiàl e ‘l $\varphi$ el rappresenta la coordinada angolar.

Se a se soppòn de vorè ottegnì la divergenza d’ona funzion vettorial:

$𝐅(\rho ;\varphi )=F_{\rho }{𝐞}_{\rho }+F_{\varphi }{𝐞}_{\varphi }$

a se pò scriv el prodòtt scalà di dò grandezz vettoriaj:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=({𝐞}_{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }+{𝐞}_{\varphi }\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \varphi })\cdot (F_{\rho }{𝐞}_{\rho }+F_{\varphi }{𝐞}_{\varphi })$

de già che gh’è de regordà che:

${\left(d𝐥\right)}_{\hat{\rho }}=d\rho {\left(d𝐥\right)}_{\hat{\varphi }}=\rho d\varphi$

se a se eseguìss el prodòtt a se otten:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅={𝐞}_{\rho }\cdot (\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \rho }{𝐞}_{\rho }+F_{\rho }\frac{\partial {𝐞}_{\rho }}{\partial \rho }+\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \rho }{𝐞}_{\varphi }+F_{\varphi }\frac{\partial {𝐞}_{\varphi }}{\partial \rho })+$

$+\frac{1}{\rho }{𝐞}_{\varphi }\cdot (\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }{𝐞}_{\rho }+F_{\rho }\frac{\partial {𝐞}_{\rho }}{\partial \varphi }+\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }{𝐞}_{\varphi }+F_{\varphi }\frac{\partial {𝐞}_{\varphi }}{\partial \varphi })$

A se ved che dò di quatter derivad di vettor unitari hinn zero. De fàtt, cont el varià de $\rho$, el vettór unitari ${𝐞}_{\rho }$ el cambià nò la sò direzion (e nanca el sò valor, de già che l’è on vettor unitari) e la soa derivada rispètto a $\rho$ la sarà zero de conseguenza. A l’istèssa manera ${𝐞}_{\varphi }$ la cambierà minga cont el cambià del $\rho$. I alter dò derivàd che rèsten se troeuven:

$\frac{\partial {𝐞}_{\rho }}{\partial \varphi }=\frac{\partial }{\partial \varphi }(\cos \varphi {𝐞}_x+\sin \varphi {𝐞}_y)=-\sin \varphi {𝐞}_x+\cos \varphi {𝐞}_y={𝐞}_{\varphi }$

$\frac{\partial {𝐞}_{\varphi }}{\partial \varphi }=\frac{\partial }{\partial \varphi }(-\sin \varphi {𝐞}_x+\cos \varphi {𝐞}_y)=-\cos \varphi {𝐞}_x-\sin \varphi {𝐞}_y=-{𝐞}_{\rho }$

e cont el sostituì:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }(F_{\rho }+\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi })$

la divergenza in coordinàd polar la diventa donca el scalà:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅(\rho ;\varphi )=\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho F_{\rho }\right)}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }$

Coordinàd sferich

Coordinad sferich

In ${ℝ}^3$ a se pòden mètt denter di ater sistèma de riferimento, ‘me i coordinad sferich:

$\{\begin{array}{c}x=\rho \sin \theta \cos \varphi \\ y=\rho \sin \theta \sin \varphi \\ z=\rho \cos \theta \end{array}$

‘doe ‘l $\rho$ el rappresenta la coordinada radiàl, el $\varphi$ el rappresenta la coordinada angolar da l'asse $x$ e $\theta$ el rappresenta la coordinada angolar da l'asse $z$. A l’istèssa manera del caso de prima, a l’è assée a proiettà el differenzial in sui noeuv coordinàd:

${\left(d𝐥\right)}_{\hat{\rho }}=d\rho {\left(d𝐥\right)}_{\hat{\varphi }}=\rho \sin \theta d\varphi {\left(d𝐥\right)}_{\hat{\theta }}=\rho d\theta$

Donca se:

$𝐅(\rho ,\theta ,\varphi )=F_{\rho }\hat{\rho }+F_{\theta }\hat{\theta }+F_{\varphi }\hat{\varphi }$

la divergenza in coordinad sferich la diventa el scalà:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅(\rho ,\theta ,\varphi )=$

$=\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial ({\rho }^2{F}_{\rho })}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho \sin \theta }\frac{\partial (\sin \theta F_{\theta })}{\partial \theta }+\frac{1}{\rho \sin \theta }\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }=$

$=\frac{1}{{\rho }^2}(2\rho F_{\rho }+{\rho }^2\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \rho })+\frac{1}{\rho \sin \theta }(\cos \theta F_{\theta }+\sin \theta \frac{\partial F_{\theta }}{\partial \theta })+\frac{1}{\rho \sin \theta }\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }=$

$=\frac{2F_{\rho }}{\rho }+\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho \tan \theta }{F}_{\theta }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{1}{\rho \sin \theta }\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }$

Divergenza del rotór

In ${ℝ}^3$ la divergenza del rotór d’on qualsessìa campo vettorial de class $C^2$ l’è semper ugual de $0$.

Defàtt, mettèmm $𝐅$ che ‘l sia on camp vettorial de class $C^2$:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)=\mathrm{\nabla }\cdot (\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})=$

$=\frac{{\partial }^2{F}_3}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2{F}_2}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^2{F}_1}{\partial y\partial z}-\frac{{\partial }^2{F}_3}{\partial y\partial x}+\frac{{\partial }^2{F}_2}{\partial z\partial x}-\frac{{\partial }^2{F}_1}{\partial z\partial y}=$

$=\frac{{\partial }^2{F}_1}{\partial y\partial z}-\frac{{\partial }^2{F}_1}{\partial z\partial y}+\frac{{\partial }^2{F}_2}{\partial z\partial x}-\frac{{\partial }^2{F}_2}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^2{F}_3}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2{F}_3}{\partial y\partial x}=0$

De già che la funzion a l’è de class $C^2$ second el teorema del Schwarz i derivàd mist come che se sòmen se destrughen (s’a hinn soddisfàa i ipòtesi del teorema del Schwarz, de fàtt, l'ordin de derivazione l cunta nagòtt).

Bibliografia

• Modell:Cita web
• Modell:Cita libro
• Modell:En Kaplan, W. The Divergence of a Vector Field. §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185–186, 1991.
• Modell:En Morse, P. M. and Feshbach, H. The Divergence. In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34–37, 1953.
• Modell:En Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.

Vos correlaa

• Camp vettorial solenoidal
• Derivada
• Derivada parzial
• Equazione de continuità
• Gradient
• Prodòtt scalà
• Rotor (matematica)
• Teorema de la divergenza
• Teorema del Stokes

Ligamm de foeura

• Modell:Cita web
• Modell:SpringerEOM
• Modell:Cita web