Irazziunalitaa dal nümer e

In matemàtega, ul desenvilüpi in séria da Taylor dal nümer e

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

al pöö vess duvraa par a pruvà che e al è irazziunaal.

Süpunemm par l'absüürd che al sía e = a/b, par di inteer pusitiif a e b. Cunsideremm ul nümer

$x:=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}).$

Mustremm che la süpusizziun par l'absüürd ímplica a l'istess teemp che $0<x<1$ e che $x$ al è un nümer inteer. Ches-chí al è impussibil, e chesta cuntradizziun la stabiliss la irazziunalitaa da "e".

• Par vidé che x al è un nümer inteer, nutemm che

$x$	$=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-b!\cdot \sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}$

Adess, par ogni "n" taal che $0\le n\le b$, al sa passa che $b!$

al è divisíbil par $n!$, dunca $b!\cdot \sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}$ al è un nümer inteer pusitiif. Cuma cunseguénza, cunsideraa che anca $a(b-1)!$ al è un nümer inteer , "x" al è un nümer inteer.

• Par vidé che "x" al è un nümer pusitiif inferiuur a 1, nutemm che

$x=b!\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$ inscí

$0<x,$

$=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+\cdots$

$<\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1{)}^2}+\frac{1}{(b+1{)}^3}+\cdots$

$=\frac{1}{b}\le 1$

Chí, la darera suma l'è una séria geométrica. Cunsideraa che a esísten mía di nümer inteer pusitiif püssee piscin che 1, emm utegnüü una cuntradizziun. Ches-chí al finiss la demustrazziun.

Q.E.D.