Lema da Hurwitz

Ul lemma da Hurwitz

Si la sequenza d'aplicazziun ulumòorf sül diisch ünitaa $𝔻$ e a valuur int una süperfiis da Riemann $𝕊$ la cunveerg ünifurmameent sü tütt cumpatt da $𝔻$ vers una aplicazziun ulumorfa $g\in \mathscr{H}(𝔻,𝕊)$, e $g$ la töö la valuur $\alpha \in 𝕊$ senza vess custanta, alura, par cada $n$ assée graant, $f_n$ apó la töö la valuur $\alpha$.

Demustrazziun Síes $\mathrm{\Psi }$ una carta lucala sü un intuurn $𝒱$ da $\alpha$ tala che $\mathrm{\Psi }(\alpha )=0$; síes $\zeta \in 𝔻$ taal che $\mathrm{\Psi }\circ g(\zeta )=0$; gja che $\zeta$ al è isulaa, sa pöö truvá $\epsilon >0$ taal che $\mathrm{\Psi }\circ g(\zeta +\epsilon e^{i\vartheta })=0$ par cada $\vartheta \in [0,2\pi ]$.

A patt da diminüí $\epsilon$, sa a, par cada $n$ assée graant, $f_n(𝔻(\zeta ,\epsilon ))\subset 𝒱$ e $\underset{\vartheta \in [0,2\pi ]}{\sup }[\mathrm{\Psi }\circ f_n(z+\epsilon e^{i\vartheta }){]}^{-1}\le 2\underset{\vartheta \in [0,2\pi ]}{\sup }[\mathrm{\Psi }\circ g(z+\epsilon e^{i\vartheta }){]}^{-1}<\mathrm{\infty };$ cuma $\mathrm{\Psi }\circ f_n(\zeta )\to 0$, $\mathrm{\Psi }\circ f_n$ al gh'a da s'anülá sü $𝔻(\zeta ,\epsilon )$, grazzia al principi dal màssim aplicaa a $1/[\mathrm{\Psi }\circ f_n]$.