Lema dal spazzi métrich

Modell:OCC Al síes $(X,d)$ un spazzi métrich cumplett e $M:X\to {ℝ}_0^{+}$ una funziun lucalameent limitada. Al síes $\sigma >0$: alura, par tücc $u\in M^{-1}({ℝ}^{+})$ al esiist $w\in X$ taal che:

1. $d(u,w)\le 2({\sigma M(u)}^{-1}){\sigma M(u)}^{-1}$;
2. $M(w)\ge M(u)$;
3. $d(x,w)\le (\sigma M(w){)}^{-1}\Rightarrow M(x)\le 2M(w)$.

Demustrazziun Süpusemm par l'assüuurt che ul lema al síes faals: alura al esiist $u\in X$ taal che, par tücc $w\in X$, vün almaanch di enuncjaa 1,2,3 al síes faals. In particülaar, $v_0:=u$ al gh'a da viulá la cundizziun 3. Dunca sa pöö truvá $v_1\in X$ taal che $M(v_1)>2M(v_0)$ però $d(v_1,v_0)\le 1/v_0$, vargott ch'al implica che 1 e 2 i è veer par $w=v_1$ e, par cunsequeent, 3 la gh'a da vess falsa par $w=v_1$. Dunca sa pöö truvá $v_2\in X$ taal che $M(v_2)>2M(v_1)$ però $d(v_2,v_1)>[\sigma M(v_1){]}^{-1}$, dunca $d(v_2,v_0)>\frac{1}{2}[\sigma M(v_0){]}^{-1}$.

Cheest-chí al implica che 1 e 2 i è veer par par $w=v_2$ e, par cunsequeent, 3 la gh'a da vess falsa par $w=v_2$ apó. Sigütaant cheest prucedimeent, sa pöö fa sü, par indüzziun, una suquenza $\{v_n\}$ tala che $v_0=u$, $M(v_n)\ge 2M(v_{n-1})\ge 2^{n}M(v_0)$ e $d(v_n,v_{n-1})\le 2^{1-k}{[\sigma M(v_0))]}^{-1}$. % Chesta sequénza-chí a l'è da Cauchy: en síes $\lambda$ la valuur límit. Al sa veet che $M$ a l'è mia limitada aprööf $\lambda$, vargott ch'al è una cuntradizziun.

Refereenz

M.Gromov, Foliated plateau problem: part II: harmonic maps of foliations. GAFA, Vol. 1, No. 3 (1991), 253-320