Numer cardinal

In lenguistega, i numer intreg naturai zer, vun, duu, tri, e via insì, i se ciama dei ajetiv numerai cardinai.

In matematega, un numer cardinal a l'è una estension de qesta nozion per cuntar i insema, là compres i insema infinids.

Definizion

Cas dei insema finids

Per un insema finid, ol so cardinal a l'è ol so numer d'elements (zer, pe'l insema vœi) :

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\varnothing })=0$

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\{1,2,5\})=3$

Voilà d'oltr esempi, relativ a le fonzion e relazion.

I sies E e F duu insema finids, E de cardinal p e F de cardinal n. Allora :

• Le corespondenze de E in F i forma un insema, notad abitualament « Cor( E, F ) ». Ol numer de qeste corespondenze a l'è :

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}(E,F)=2^{np}$

• le fonzion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Fnt( E, F) ». Ol numer de qeste fonzion a l'è :

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{F}\mathrm{n}\mathrm{t}(E,F)=(n+1{)}^p$

• le aplicazion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Apl( E, F) ». Ol numer de qeste aplicazion a l’è :

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{A}\mathrm{p}\mathrm{l}(E,F)=n^p$

Qesta propietaa la spiega perqè Apl( E, F ) a l'è notad plu de spess « $F^E$ ».

• le injezion (matematega) de E in F i forma un subinsema del precedent, notad abitualament « Ing( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE > cardF. Se cardE = cardF , ol numer de qeste injezion a l’è :

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{g}(E,F)=\frac{n!}{(n-p)!}$

• le surjezion de E in F i forma un subinsema del insema de le aplicazion, notad abitualament « Surj ( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE < cardF. Se cardE = cardF finid, ol numer de qeste surjezion a l’è :

Eror del parser (eror de sintassi): {\displaystyle \mathrm{card\, Sürg}\,( E, F) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \frac{ n! }{ i! (n - i)! } (n - i)^{p} }

• le bijezion de E in F i forma un subinsema dei duu insema precedents, notad abitualament « Big( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE ≠ cardF. Se cardE = cardF = n, ol numer de qeste bijezion a l’è :

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{g}(E,F)=n!$.

Cas dei insema infinids

Se dix qe duu insema infinids i g'ha i stess cardinai se la esist una bijezion de vun su l'oltr. Se dix anc'pó qe i è equipotents. Se mostra qe l'esist nissuna bijezion intra un insema $E$ e l'insema de le soe part $𝔓(E)$ e donca qe esist diferente taie de insema infinids. Qists infinids diferents i è representads dei numer cardinai transfinids : ol cardinal d'un insema E a l'è allora definid come ol plu picin numer ordinal equipotent a E. De manera plu formala, se al definiss un cardinal come un ordinal qe l'è equipotent a nissun dei sœ elements.

Ind la teoria assiomatega dei insema de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'esistenza d'un ordinal equipotent a un insema qualsavœl a l'è miga segurada. In qests cas, a l'è judexios se limitad ai insema per i quai un tal ordinal al esist. Per contra, se se jonta l'assioma de la cernida a ZF, qe la da la teoria ZFS, se pœ mostrar qe cada insema a l'è equipotent a un cardinal.

I cardinai infinids i è representads per mez de la letera ebraega alef $\mathrm{\aleph }$. Ol cardinal infinid plu picin a l'è ${\mathrm{\aleph }}_0$. A l'è ol cardinal de l'insema $\mathbb{N}$ dei intreg naturai. Ol cardinal imediatament superior a l'è ${\mathrm{\aleph }}_1$, etc... D'una manera jenerala, un cardinal qualsevœl le se scriv ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ indove $\alpha$ a l'è un ordinal.

Se al esist una injezion d'un insema $A$ ind un insema $B$, se scriv$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)\le \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)$. Se l'esist una injezion de $A$ in $B$ però miga de bijezion, se scriv$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)<\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)$.

Esempi :

• $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathbb{N})={\mathrm{\aleph }}_0<\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(ℝ)=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

indove se nota $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ ol cadinal de l'insema dei fonzion de ${\mathrm{\aleph }}_0$ in $\{0,1\}$, equipotent a $𝔓({\mathrm{\aleph }}_0)$. Qest cardinal a l'è igual a qell de $ℝ$, notad de l’istessa manera $𝔠$, dei cardinai del continov.

• De tuta manera, e qest qí al someia miga intuitiv a tuta prima :

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathbb{N})=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathbb{Q})$ (cf. insema cuntabel)

• Ol cardinal de l'insema dei fonzion continove de $ℝ$ in $ℝ$ a l'è igual a $𝔠$, cardinal de $ℝ$.

• Ol cardinal de l'insema dei fonzion de $ℝ$ a l'è $2^{𝔠}>𝔠$.

Propietaa

• $A\subset B⟹\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)\le \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)$

• $A\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{d}⟺\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup \{A\})$

• $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)<\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(𝔓(E))=2^{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)}$. Se $E$ a l'è infinid e se $𝔉(E)$ al designa l'insema de le part finide de $E$, allora$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(𝔉(E))$

• se i insema i è finids,$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)-\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B)$

• se $A$ a l'è infinid e $B$ miga vœi, allora$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\times B)=\max (\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A),\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B))$

• se $B$ a l'è contegnud in $A$ infinid e se$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)<\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$, allora$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A-B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$

• se $A$ a l'è infinid e se$2\le \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)\le \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$, allora $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B^A)=2^{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)}$ indove $B^A$ al designa l'insema dei fonzion de $A$ in $B$

• se $f$ a l’è una fonzion de $A$ in $B$, allora$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(f(A))\le \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$

• se $A$ a l'è infinid, allora$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\times A)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$

I cardinai inacessibei

In qest paragraf, se considera la possibilitaa de rivar a un ordinal o a un cardinal dait a partir de ordinai plu picinits. Se dix qe un ordinal $\alpha$ a l'è cofinal cont un ordinal $\beta$ inferior a $\alpha$ se al esist una aplicazion streintament cressenta $f$ de $\beta$ in $\alpha$ tal qe $\alpha$ al sies ol limit de $f$ a'l teorema qe vegn :

$\mathrm{\forall }\gamma \in \alpha ,\mathrm{\exists }\delta \in \beta ,\gamma \le f(\delta )$

Per esempi, ${\mathrm{\aleph }}_0$ a l'è cofinal cont nissun ordinal plu picin, jà qe un ordinal inferior a ${\mathrm{\aleph }}_0$ a l'è un intreg $n=\{0,1,...,n-1\}$ e qe una aplicazion streintament cressenta definida su $\{0,1,...,n-1\}$ a l'è limitada. Se dix qe ${\mathrm{\aleph }}_0$ a l'è regolar.

Per contra, ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ a l'è cofinal cont $\omega$ pe'l mez de l'aplicazion $f:n\in \omega \to {\mathrm{\aleph }}_n$. Se dix qe ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ a l'è singolar.

Se se nota $\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )$ ol plu picin ordinal cont $\alpha$ qe l'è cofinal, se g'ha $\mathrm{c}\mathrm{f}(\omega )=\omega$ e $\mathrm{c}\mathrm{f}({\mathrm{\aleph }}_{\omega })=\omega$.

Se pœ classar allora i cardinai come quei qe vegn :

• I cardinai de la forma ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$, indexizad per un ordinal $\alpha +1$ sucessor d'un ordinal $\alpha$.
• I cardinai de la forma ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$, indexizad per un ordinal $\alpha$ limit, e qe i è singolar. Qists duu jener de cardinai i è qualifegads d'acessíbel, perqè concepibei a partir de cardinai plu picits qe miga lor.
• I cardinai de la forma ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$, indexizad per un ordinal $\alpha$ limit, e qe i è regolar. Qest jener de cardinal a l'è qualifegad de flebilment inacessibel perqè i pœ miga vesser concepids a partir de cardinai plu picits. Intra qists daree, i se disting i cardinai fortament inacessibei q’i verifega de plu $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(x)<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }⟹2^{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(x)}<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$. L'esistenza de qei cardinai qì la se pœ dedur dei assioma de la teoria dei insema ZFS.

L'ipotesi del continov

A hem enonziad qe $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathbb{N})={\mathrm{\aleph }}_0<\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(ℝ)=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$. Adess ${\mathrm{\aleph }}_1$ a l'è ol plu picin cardinal streintament superior a ${\mathrm{\aleph }}_0$. Se g'ha donca ${\mathrm{\aleph }}_1\le 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ e l'ipotesi del contínov la pon la quistion de saver se ${\mathrm{\aleph }}_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$. Se mostra qe qesta propietaa a l’è indecidibel in ZFS. Plu jeneralment, l'ipotesi jeneralizada del continov l'enonzia qe, per cada ordinal $\alpha$, se g'ha ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}=2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$.

Se se met come assioma l'ipotesi jeneralizada del continov allora :

• l'assioma de la cernida a l'è demostrabel.
• A g’è equivalenza intra i nozion de cardinai flebilment inacessibei e fortament inacessibei.

Notèm ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}$ l'insema dei fonzion de ${\mathrm{\aleph }}_{\beta }$ in ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$. Allora :

• $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }})={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ si ${\mathrm{\aleph }}_{\beta }<\mathrm{c}\mathrm{f}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })$
• $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }})={\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ si $\mathrm{c}\mathrm{f}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })\le {\mathrm{\aleph }}_{\beta }\le {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$
• $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }})={\mathrm{\aleph }}_{\beta +1}$ si ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\le {\mathrm{\aleph }}_{\beta }$

Vardé anc'pó

• Àljebra jenerala
• Corespondenza e relazion
• Numer ordinal
• Teoria assiomatega dei insema
• Teorema de Cantor