Teurema da Cauchy

Modell:O Modell:Portal Modell:KOMAT Ul Teurema d'esistenza e ünicitaa d'EDU, i.e., da equazziú diferenziale urdinàrie, al stabiliss che:

Al síes $X$ un spazzi da Banach, e al síes $f:X\to X$ una aplicazziú tala che

$|f(x)-f(y)|<L|x-y|\mathrm{\forall }x,y\in X$

par vargü $L\ge 0$ (sa l diis che f al è una funziú Lipschitz da custanta L). Alura par qual-sa-vöör $u_0\in X$al esiist una funziú ünica

$u:[0,+\mathrm{\infty })\to X$

diferenziàbila, tala che sa l cumpiss

$\{\begin{array}{cc}\frac{du}{dt}=f(u)& \text{en}[0,+\mathrm{\infty })\\ & \\ u(0)=u_0.& \end{array}$

Da plüü, sa la gh’a dependenza cuntínua da la sulüzziú par rapòort a la cundizziú inizziala e sa i pöö utegní stimazziú sura la regülaritaa da la sulüzziú.

Demustrazziú: Esistenza. L'equazziú che al cuventa resòolf al è equivaleent a

$u(t)=u_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(u(s))ds.$

Daa un $k>0$ (che sa fixarà plüü endavant), sa l intrudüiss ul spazzi

$E=\{u\in C([0,+\mathrm{\infty });X):\underset{t\ge 0}{\sup }{e}^{-kt}|u(t)|<\mathrm{\infty }\}$

Sa i pröva le prupietaa seguente:

• $E$ al è un spazzi da Banach cun la norma

$|u{|}_E=\underset{t\ge 0}{\sup }{e}^{-kt}|u(t)|$

• Par tütt $u\in E$ la funziú

$(\mathrm{\Phi }u)(t)=u_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(u(s))ds$

la parteegn a $E$.

• $|\mathrm{\Phi }u-\mathrm{\Phi }v{|}_E\le \frac{L}{k}|u-v{|}_E\mathrm{\forall }u,v\in E$

Cura ca $k>L$, pal teurema dal puunt fiss da Banach, l'aplicazziú $\mathrm{\Phi }$ a l’è cuntrativa e l’amett un puunt fiss, che al è una sulüzziú.

Ünicitaa. I síes $u$ e $v$ dò sulüzziuns. Puneent

$\phi (t)=|u(t)-v(t)|$

al s’uteegn, a partí da la representazziú integrala da le sulüzziú,

$\phi (t)\le L\underset{0}{\overset{t}{\int }}\phi (s)ds\mathrm{\forall }t\ge 0$

e vargott implica che $\phi \equiv 0.$

Regülaritaa.

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Dependenza cuntínua da le cundizziú inizzials.

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