Cuntinuazziun analítica

Intrudüzziun

Sa cunsíderi un puunt $p$ dal plan cumpless e la séria da puteenz in $z-p$:

${\alpha }_0+{\alpha }_1(z-p)+{\alpha }_2(z-p{)}^2+{\alpha }_3(z-p{)}^3+...$

Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul $C_1$ da centru $p$ e dunca ga definiss una funziun ulumorfa $f$; scrivemm $f_p$ par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.

Cunsideremm un puunt $q\in C_1$ e desvilüpemm $f$ in séria da puteenz da $z-q$:

$f_q(z)={\beta }_0+{\beta }_1(z-q)+{\beta }_2(z-q{)}^2+{\beta }_3(z-q{)}^3+...$

Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza $C_2$ da hesta darera séria al sia mia cuntegnüü in $C_1$, emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da $f$, par mezz da la definizziun:

$f(z):=\{\begin{array}{cc}{f}_p(z)& \text{si}z\in C_1\\ f_q(z)& \text{si}z\in C_2\end{array}$

Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che $z\in C_1\cap C_2\Rightarrow f_p(z)=f_q(z)$.

Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica (u apó un prulungameent analítich) da $f_p:C_1\to ℂ$; diremm apó che $f_q:C_2\to ℂ$ a l'è una cuntinuazziun analítica da $f_p:C_1\to ℂ$ e viceversa.

Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{2^{n+1}}(|z|<2)$ i $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-i{)}^n}{(2-i{)}^{n+1}}|z-i|<\sqrt{5}$

i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra. Nutemm che tüti dò i representa la funziun $z\mapsto 1/(2-z)$. Plüü in generaal, si al è ul caas che $f$, definida a priori int un cungjuunt deerf $U\subset ℂ$, sa la pöda restringí a un cungjuunt deerf $V\subset U$ e dapress $f{|}_V$ la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf $W\subset ̸U$, diremm que la növa funziun utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica da $f$.

I definizziun bàsich

Un elemeent da funziun ulumorfa al è un para $(U,f)$, intúe $U$ al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless, $f:U\to ℂ$ una funziun ulumorfa definida in $U$.

Düü elemeent $(U,f)$ e $(V,g)$ i-è liàbil si al esiist una sequenza finida

${\{(U_j,f_j)\}}_{j=0,....,n}$,

tala che $(U_0,f_0)=(U,f)$, $(U_n,f_n)=(V,g)$ e, par tücc $j=0,....,n-1$,

$\{\begin{array}{cc}& U_j\cap U_{j+1}=\mathrm{\varnothing },\\ & f_{j+1}{|}_{U_j\cap U_{j+1}}=f_j{|}_{U_j\cap U_{j+1}}.\end{array}$

Diremm che $\{(U_i,f_i){\}}_{i=0...n}$ al è una cuntinuaziun analítica da $(U,f)$ (u da $(V,g)$).

Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da $(U,f)$ (u da $(V,g)$).

I elemeent ${\{(U_j,f_j)\}}_{j=0,....,n}$ i-sa dirà liaa.

Una cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin $\gamma :[0,1]\to ℂ$ a l'è una cuntinuazziun analítica $\{(U_i,f_i){\}}_{i=0...n}$ tala che $\bigcup _{i=0}^n{U}_i\supset \gamma ([0,1])$.

Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un intuurn dal puunt da partenza: sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun $\phi$ da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que $\phi (1)=1$, int un intuurn da de $1$. Sa pöö vidé $\phi$, in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda $\varrho \exp (i\vartheta )$ sü $\sqrt{\varrho }\exp (i\vartheta /2)$, int úe $\sqrt{}$ a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.

Intütivameent, cuntinuemm $\phi$ al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da $\vartheta$ istess a $2\pi$, utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa $\psi$ int un intuurn da $1$, ch'al a redüii a metaa l'incremeent da $2\pi$ dal argument da $z$. Dunca, $\arg (\psi (z))=\arg (\phi (z))+\pi$, i.e. $\phi =-\psi$. Natüralmeent, un òolt giir da $2\pi$ na porta a nuvell al elemeent da partenza $\phi$.

Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una süperfiis da Riemann, numinada süperfiis da Riemann dal elemeent u apó cuntinuazziun analítica massimala, ch'a la esiist grazzia al Lema da Zorn.

Furmazziun da frunteer natüraal

Sa cunsíderi un elemeent da funziun ulumorfa $(U,f)$: al pöö süceet che, par cada restrizziun $(V,g)$ de $(U,f)$ (i.e, $V\subset U$ e $g=f{|}_V$) al esista nissüna cuntinuazziun analítica $(W,h)$ da $(V,g)$ tala che $W\cap U\subset ̸U$. Si al è ul caas, diremm che $\partial U$ a l'è una fruntera natürala par l'elemeent $(U,f)$. Cunsideremm par esempi la séria da puteenz $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{2^n}=1+z^2+z^4+z^8+...$: grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch $|z|<1$, e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa $h$. Da plüü, $h(z)\to \mathrm{\infty }$, alura che $z\to 1$ luungh l'ass reaal.

Cuma ca

$h(z^2)=1+z^4+z^8+z^{16}+...=h(z)-z^2$, sa a

$\underset{z\to -1,z\in ℝ}{\lim }h(z)=$ $\underset{z\to -1,z\in ℝ}{\lim }(z^2+h(z^2))=\mathrm{\infty }$.

In l'istessa manera, $h(z)=z^2+z^4+h(z^4)$, dunca $h\to \mathrm{\infty }$ alura che $z\to 1$ luungh l'ass imaginari: da manera generala, $h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n})$, par cada nümar natüraal $n$, dunca $h\to \mathrm{\infty }$ alura che $z\to \exp (2k\pi /2^n)$ luungh un radi dal diisch ünitaa.

Ul cungjuunt di puunt da la furma $\exp (2k\pi /2^n),k,n\in \mathbb{Z}$ al è deens íntal círcul $𝕋=\{|z|=1\}$, dunca $h$ l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.

Usservemm che $h$ la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da $𝕋$ cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí, $1/h$ s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.