Cuntinuazziun analítica massimala

Modell:OCC In cheest artícul a femm vidé una furmalizazziun plüü astrata da la nuzziun da cuntinuazziun analítica.

Síes $𝕊$ la sfera da Riemann; una süperfiis da Riemann regülara sura un cungjuunt deerf $\mathrm{\Omega }\subset 𝕊$ a l'è un para $(R,p)$ intúe $R$ a l'è una süperfiis da Riemann (i.e. una varietaa cumplessa a una dimensiun) e $p:R\to \mathrm{\Omega }$ a l'è un biulumurfiism lucaal sürgetiif. Una cuntinuazziun analítica regülara d'un elemeent da funziun ulumorfa la cunsistiss int una süperfiis da Riemann regülar sura un cungjuunt deerf $\mathrm{\Omega }\subset 𝕊$ taal che $U\subset \pi (S)$, int una imersiun ulumorfa $j:U\to S$ tala che $\pi \circ j=id{|}_U$ e int una funziun ulumorfa $F:S\to 𝕊$ tala che $F\circ j=f$.

Un murfiism intra dò cuntinuazziun analítich $(S,\pi ,j,F)$ e $(T,\varrho ,\ell ,G)$ dal istess elemeent $(U,f)$ al è una funziun ulumorfa $h:T\to S$ tala che $h\circ \ell =j$.

Un taal murfiism al è una funziun mia custanta, ünivocament determinada in $j(U)$, (e dunca da-par-tütt in $S$) par $\ell \circ j^{-1}$. Da plüü, $\varrho \circ h=\pi$ e $G\circ h=F$ in $j(U)$ dunca da-par-tütt in $S$.

L'ünich murfiism intra una cuntinuazziun analítica e la istessa al è l'identitaa, la cumpusizziun da düü morfismes a l'è apó un murfiism; si un murfiism al amett una funziun ulumorfa cuma inversa, chesta-chí a l'è apó un murfiism: si al è ul caas, a parlemm d'un isumurfiism da cuntinuazziun analítich.

Definizziun: una cuntinuazziun analítica $S$ da l'elemeent $(U,f)$ a l'è massimala si, par cada cuntinuazziun $\hat{S}$ da $(U,f)$ al esiist un murfiism $h:S\to \hat{S}$.

Remarchemm che dò cuntinuazziun massimaal dal istess elemeent i è necessariameent isumòorf; dunca la cuntinuazziun analítica massimala a l'è ünica a maanch d'isumurfiism.

Teorema: cada elemeent $(U,f)$ da funziun ulumorfa al gh'a una cuntinuazziun analítica massimala $Q:=(S,\pi ,j,F)$.

Demustrazziun: síes

1. $𝒰=\{(U_i,f_i){\}}_{e\in e}$

ul cungjuunt formaa paj [[elemeent liàbil]] a $(U,f)$;

1. $S_0=\coprod _{e\in e}{U}_i$,

${\pi }_0=\coprod _{e\in e}id{|}_{U_i}$ e $F_0=\coprod _{e\in e}{f}_i$;

1. $j_0:U⟶S_0$ l'imersiun natürala.

Introdüssemm una relazziun d'equivalenza in $S_0$: $z_1\in U_{e_1}$ e $z_2\in U_{e_2}$ sa i dirà equivaleent si ${\pi }_0(z_1)={\pi }_0(z_2)$ e $f_{e_1}=f_{e_2}$ in un intuurn da ${\pi }_0(z_1)={\pi }_0(z_2)$ in $U_{e_1}\cap U_{e_2}$.

Síes $S$ ul cungjuunt quozzient e $q:S_0⟶S$ la prujezziun canònica: una basa par la tupulugía da $S$ a l'è formada paj $[U_i]:=\{q\left(U_i\right)\}$. Definissemm $<math>j:U⟶S$, $\pi :S⟶{ℂ}^N$ $F:S⟶{ℂ}^N$ par $j=q\circ j_0$, $\pi (q(z))={\pi }_0(z)$ $F\left(z_i\right)=f_i\left(z_i\right)$.

Sti aplicazziun i è ben definiit e cuntínüi; da plüü, $\pi$ al è un omeumurfiism lucaal.

Ul spazzi tupulògich $S$ al è da Hausdorff: da fatt, si $q\left(z_i\right)=q\left(z_j\right)$ e ${\pi }_0\left(z_i\right)={\pi }_0\left(z_j\right)$, cunsideremm un intuurn cuness $V$ da ${\pi }_0\left(z_i\right)={\pi }_0\left(z_j\right)$, taal che $f_i$ e $f_j$ i síes definii e difereent in $V$. I síes $V_i$ e $V_j$ les còpies disgjuunt da $V$ in $U_i$ e da $U_j$ in $S_0$: s'al veet che $q\left(V_i\right)\cap q\left(V_j\right)=\mathrm{\varnothing }$. da fatt, si ga i füdess düü puunt $w_i\in V_i$ e $w_j\in V_j$ taal che $q\left(w_i\right)=q\left(w_j\right)$, s'aress apó $f_i=f_j$ int un intuurn da ${\pi }_0\left(w_i\right)={\pi }_0\left(w_j\right)$, dunca in $V$, vargott ch'al è una cuntradizziun.

Ul spazzi $S$ al è cuness, par che par cada para da puunt $p_1,p_2$ cun $p_1\in [U^{\prime }]$ e $p_2\in [U^{\prime \prime }]$, al esiist una cadena $𝒦=\{U_{e_0},U_{e_1}.....U_{e_n}\}$ da congjuunt deerf cuness mia vöj, taal che, par cada $k=0,....,n-1$, $U_{e_k}\cap U_{e_{k+1}}=\mathrm{\varnothing }$, s'al gh'àbies $U_{e_0}=U^{\prime }$ e $U_{e_n}=U^{\prime \prime }$.

Dunca ul cungjuunt deerf $[U_{e_0}]\cup \cdots \cup [U_{e_n}]$ al è connex e al cuntegn $p_1$ e $p_2$.

Gja che $q$ al è un omeumurfiism lucaal intra $U_i$ e $q\left(U_i\right)$, ul spazzi $S$ al è cuness; però apó $\pi :S⟶ℂ$ al è un omeumurfiism lucaal, dunca pal teurema da Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), apó $S$ al è a basa nümeràbil.

L'atlaant ${\left\{([U_i],\pi {|}_{[U_i]})\right\}}_{e\in e}$ al definiss una strütüra cumplessa $S$, par che, par cada para $[U_i],[U_j]$ da caart lucaal che sa i suraponn, l'aplicazziun da transizziun $\pi {|}_j\circ \pi {|}_i^{-1}$ a l'è l'identitaa d'un cungjuunt deerf da $U_i\cap U_j$.

Par chesta strütüra, i aplicazziun $\pi ,j,F$ i è ulumòorf par custrüzziun, dunca $(S,\pi ,j,F)$ a l'è una cuntinuazziun analítica da $(U,f)$.

Demustremm che chesta cuntinuazziun a l'è massimala: síes $(T,\varrho ,\ell ,G)$ una cuntinuazziun analítica da $(U,f)$: a pudemm fa sü un recuvrimeent deerf da $R$ par di $\{V_i\}$ taal che, par cada $i$, $\varrho {|}_{\{V_i\}}$ a l'è biulumorfa; alura ul para $(\varrho (V_i),G\circ \varrho {|}_{V_i}^{-1})$ al è un elemeent da funziun ulumorfa liàbil cun $(U,f)$.

Definissem $h_i:V_i⟶S$ par $h_i=q\circ \varrho {|}_{V_i}$: si $V_i\cup V_j=\mathrm{\varnothing }$, $h_i=h_j$ in $V_i\cup V_j$, dunca i definizziun lucaal sa i lazza a definí una aplicazziun ulumorfa $h:T\to S$ tala che $h\circ \ell =j$.

Refereenz

narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago