Imàgen direta

Si $f:X\to Y$ a l’è una funziú d'un cungjuunt X int un cungjuunt Y e A un sübcungjuunt da X, alura l'imàgen direta da A par f al è ul sübcungjuunt da Y furmaa di elemeent ch’i è imàgen par f d'almaanch un elemeent da A :

$f(A)=\{f(x)/x\in A\}$,

u $f(A)=\{y\in Y/\mathrm{\exists }a\in A,y=f(a)\}$.

Si A=X, alura f(X) al è cjamada l'imàgen da f.

Ga sa vardarà bé da cunfuunt l'imàgen direta par f d'una paart da X, cun l'imàgen par f d'un elemeent x da X.

Cunsidéremm l'aplicazziú $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$, definida par

$1\mapsto a,2\mapsto c,3\mapsto d$

L'imàgen direta da {2,3} par f al è f({2,3})={c,d} e l'imàgen da f al è {a,c,d}.

Vargüne cunseguenze imédiate da la definizziú :

• par tüte le parte A₁ e A₂ da X,

$f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)$

$f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2)$

l'inclüsiú in l'òolt sentüü al è falsa in generaal

$\mathrm{\forall }{A}_1\subset X,\mathrm{\forall }{A}_2\subset X,f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2)\iff f\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$.

• par tüta paart B da Y, $f(f^{-1}(B))\subset B$.

$\mathrm{\forall }B\subset Y,f(f^{-1}(B))=B\iff f$ sürgetiva.

• par tüta paart A da X, $A\subset f^{-1}(f(A))$

$\mathrm{\forall }A\subset X,A=f^{-1}(f(A))\iff f\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$.

• Par tüta famèja ${\left(A_i\right)}_{i\in I}$ da parte da X,

$f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_i)$

• Par tüta famèja ${\left(A_i\right)}_{i\in I}$ da parte da X,

$f\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_i)$

Vidée apó Imàgen recípruca