Imàgen recípruca

Si $f:X\to Y$ a l’è una aplicazziú d'un cungjuunt X int un cungjuunt Y, e si B al è un sübcungjuunt da Y, alura a definissemm la suva imàgen recípruca cuma ul sübcungjuunt da X faa sü di elemeent ch’ i gh’a una imàgen par f in B :

$f^{-1}(B)=\{x\in X/f(x)\in B\}$.

Cunsidéremm l'aplicazziú $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$, definida par

$1\mapsto a,2\mapsto c,3\mapsto d$

L'imàgen recípruca da {a,b} par f al è $f^{-1}(\{a,b\})=\{1\}$.

Nutemm che cun chesta definizziú , f^-1la deventa una funziú da che ul cungjuunt da definizziú a l’è ul cungjuunt da tüte le parte da Y e da che ul cungjuunt da rivada a l’è ul cungjuunt da le parte da X.

Vargüne cunseguenze imediate da la definizziú :

• Par tüte le parte B₁ e B₂ da Y,

$f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$.

$f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$.

• par tüta paart B da Y, $f(f^{-1}(B))\subset B$.

$\mathrm{\forall }B\subset Y,f(f^{-1}(B))=B\iff f$ sürgetiva

• par tüta paart A da X, $A\subset f^{-1}(f(A))$

$\mathrm{\forall }A\subset X,A=f^{-1}(f(A))\iff f\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$

• par tüte le parte A e B da Y,

$f^{-1}\left(A\mathrm{\setminus }B\right)=f^{-1}(A)\mathrm{\setminus }{f}^{-1}(B)$

• Par tüta famèja ${\left(B_i\right)}_{i\in I}$ da parte da Y,

$f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}{B}_i\right)=\bigcap _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)$

$f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{B}_i\right)=\bigcup _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)$

A disemm in generaal ch’ « cun l'imàgen recípruca tütt-coss al è pussíbil ».

Vidée apó Imàgen direta