Lema da Bohr

Modell:OCC Reguredemm che par cada funziun intrega $g$ s'al definiss

$M_r(g):=\underset{|z|=r}{\max }\{|g(z)|\}$.

LEMA: Al síes $𝒦$ ul cungjuunt di funziun ulumòorf $h:𝔻(0,1)\to ℂ$ taal che $h(0)=0$ e $M_{1/2}(h)\ge 1$; par cada $h$, al síes $c(h):=\sup \{r>0:\partial 𝔻(0,r)\}\subset h(𝔻(0,1))$: alura $\inf \{c(h):h\in 𝒦\}>0$

Demustrazziun: süpusemm par l'assüürt ch'al esiist una sequenza $\{h_n\}\subset 𝒦$ tala che $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }c(h_n)=0$; alura, par cada $n$ assée graant, i círcul $𝔻(0,1)$, $𝔻(0,1/2)$ e $𝔻(0,1/4)$ i è mia cuntegnüü in $h_n(𝔻(0,1))$; inscí la fameja $\{h_n\}$ a l'è tala che, par cada $n$ assée graant, $h_n(𝔻(0,1))$ al lassa fö un cungjuunt $a_n,b_n,c_n$ da trii puunt: a gh'emm apó $\min \{|a_n-b_n|,|b_n-c_n|,|c_n-a_n|\}\ge 1/4$ par cada $n$; grazzia al teurema da Montel $\{h_n\}$ a l'è una fameja nurmala. A maanch d'estrazziun, sa pöö süponn che $\{h_n\}$ la cunveerg a una funziun ulumorfa $h:𝔻\to ℂ$: grazzia al lema da Hurwitz $h\in 𝒦$, $h$ a l'è mia custanta e al esiist $r>0$ tal che $\partial 𝔻(0,r)\subset h(𝔻(0,1/2))$. Aplicaant anmò ul lema da Hurwitz a s'uteegn, par cada $n$ assée graant, $c(h_n)\ge r$, vargott ch'al è una cuntradizziun.