Lema da Zalcman

Grazzia al lema dal spazzi métrich, sa pöö dá una pröva fisc sémplis dal segueent lema d'anàlisi cumplessa, devüü al matemàtich Israelian Zalcman:

Si una fameja $ℱ:=\{f_{\alpha }\}$ da funziun merumòorf sül diisch ünitaa $𝔻$ a l'è mia nurmala sü vargün intuurn da $v\in 𝔻$, alura al esiist di sequeenz $\{v_n\}\to v$, $\{r_n\}\downarrow 0$, $\{f_n\}\subset ℱ$ e una funziun merumorfa mia custanta $h$ sü $ℂ$ taal che $\{f_n(v_n+r_{n}z)\}\to h$ ünifurmameent sü cada cungjuunt cumpatt da $ℂ$; da plüü, la derivada sférica $h^{\mathrm{♯}}$ a l'è limitada sür $ℂ$.

Demustrazziun Grazzia a la mia nurmalitaa al puunt$v$, i sa pöö truvá di sequeenz $\{{\xi }_n\}\to v$ in $𝔻$ e $\{f_n\}\subset ℱ$ taal che $f_n^{\mathrm{♯}}({\xi }_n)\ge n^3$. Sa pöö süponn, senza nöss a la generalitaa, che $\{{\xi }_n\}$ al síes cuntegnüü int un sübcungjuunt saraa $X$ da $𝔻$.

Par cada $n$, aplichemm ul lema dal spazzi métrich a $X$ cun la métrica euclidea, $M=f_n^{\mathrm{♯}}$, $u={\xi }_n$ e $\sigma =1/n$; s'uteegn $v_n\in X$ taal che: {\tt (i)} $d({\xi }_n,v_n)\le 1/n^2$, {\tt (ii)}$f_n^{\mathrm{♯}}(v_n)\ge n^3$ e {\tt (iii)} $|x-v_n|\le n[f_n^{\mathrm{♯}}(v_n){]}^{-1}\Rightarrow f_n^{\mathrm{♯}}(x)\le f_n^{\mathrm{♯}}(v_n)$.

Punemm adess $r_n:=[f_n^{\mathrm{♯}}(v_n){]}^{-1}$ e $h_n(w):=f_n(v_n+r_{n}w)$. % Cada $h_n$ al è ben definii sü $𝔻(0,n)$ par che: {\tt (i)} $v_n\to v$ e {\tt (ii)} $n{r}_n\le 1/n^2$. La fameja $\{h_n\}$ a l'è nurmala par che, grazzia a 3, $(h_n{)}^{\mathrm{♯}}\le 2$ sü $B(0,n)$: grazzia al teurema d'Ascoli-Arzelà, sa pöö trá fö da $\{h_n\}$ una sübsequenza ünifurmameent cunvergeent sü cada cumpatt da $ℂ$, veers una funziun merumorfa límit $h$ tala che $h^{\mathrm{♯}}(0)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{h_n}^{\mathrm{♯}}(0)=1$, vargott ch'al pröva che $h$ a l'è mia custanta; finalameent, par ulumurfía, $h^{\mathrm{♯}}(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{h_n}^{\mathrm{♯}}(z)\le 2$ par cada $z\in ℂ$.

Refereenz

F.Berteloot, J.Duval it Une démonstration directe de la densité des cycles répulsifs dans l'ensemble de Julia Basel, Birkhäuser Prog. Math. 188, 221-222 (2000)