Resürgenza

Modell:O Modell:OCC Ul A.Hurwitz al a pusaa la quistiun si al füdess pussíbil che una séria da puteenz

$h(\xi )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(\xi -{\xi }_0{)}^k,$

representaant una funziun difereent da

$\xi \mapsto c{e}^{\xi }$,

l'ametess cuntinuazziun analítica luungh un camin saraa inturna a ${\xi }_0$ e, a la fin da la cuntinuazziun, la tuless la furma:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{a}_k(\xi -{\xi }_0{)}^{k-1}=h^{\prime }(\xi ),$

vargott a dí: sa pöö-la cuntinuá analiticameent una funziun ulumorfa veers la suva derivada?

La sulüzziun da Lewy

Ul H.Lewy al a respundüü afermativameent, e al a daa una sulüzziun dal prublema che presentemm chí int una furma ligerameent mudifegada(vidée A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).

Sa cunsideri la funziun $h(z)=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-zt-(\log t{)}^2/4\pi e]dt;$ $h$ a l'è ulumorfa par $\mathrm{\Re }(z)>0$ e la pöö vess cuntinuada analiticameent aj semipian $\mathrm{\Re }(z{e}^{-e\vartheta })>0(\vartheta \in {ℝ}^{+})$, da la manera segueent: al síes $N\in \mathbb{N}$ taal che $0<\vartheta /N<\pi /2$ e femm $\eta :=\vartheta /N$.

Scrivemm, par $z\in \{\mathrm{\Re }(z{e}^{-e\eta })>0\}\bigcup \{\mathrm{\Re }(z)>0\}$,

$h(z)=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }exp[z{e}^{-i\eta }{e}^{i\eta }t-\frac{\log (e^{-i\eta }{e}^{i\eta }t{)}^2}{4\pi i}]dt$

$=\underset{e^{i\eta }{ℝ}^{+}}{\int }exp[-z{e}^{-i\eta }u-\frac{(\log (u)-i\eta {)}^2}{4\pi i}]e^{-i\eta }du$

$=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\underset{0}{\overset{R}{\int }}exp[-z{e}^{-i\eta }u-\frac{(\log (u)-i\eta {)}^2}{4\pi i}]e^{-i\eta }du+$

$+\underset{{\gamma }_R}{\int }exp[-z{e}^{-i\eta }u-\frac{(\log (u)-i\eta {)}^2}{4\pi i}]e^{-i\eta }du\}.$

Chesta darera integrala, che numinemnm $e_2$, la gh'a da vess calcülada sura la cürva ${\gamma }_R:[0,1]\to ℂ$ definida par $\gamma (t):=R{e}^{it\eta }$.

A emm $e_2\le C_1{R}^{\alpha }{e}^{-C_{2}R}$ par di custaant reaal pusitiiv $C_1$, $C_2$ e $\alpha$, dunca $e_2$ al teent a $0$ quan $R\to \mathrm{\infty }$.

Inscí, par $z\in \{\mathrm{\Re }(z{e}^{-i\eta })>0\}\bigcap \{\mathrm{\Re }(z)>0\}$ hom ha $h(z)=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }exp[-z{e}^{-i\eta }u-\frac{(\log (u)-i\eta {)}^2}{4\pi i}]e^{-i\eta }du;$ però chesta darera integrala la cunveerg in $\mathrm{\Re }(z{e}^{-e\eta })>0$ e dunca la ga definiss una cuntinuazziun analítica da $h$. Repetemm ul prucedimeent $N$ vöölt: vargott al na dà finalameent una cuntinuazziun analítica da $h$ al semiplan $\mathrm{\Re }(z{e}^{-e\vartheta })>0$; dunca $h$ la pöö vess cuntinuada analiticameent a tücc i puunt $p\in ℂ\setminus \{0\}$.

Finalmeent, si femm la cuntinuazziun analítica luungh ul camin $|z|=1,0\le \arg (z)\le 2\pi$, utegnemm, designaant $\hat{h}$ l'element da funziun ulumorfa utegnüü (int un intuurn da $z=1$) dapress una girada cumpleta, $\hat{h}(z)=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-e^{2\pi e}zt-(\log t+2\pi e{)}^2/4\pi e]dt=$

$=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-zt-\frac{(\log t{)}^2-4{\pi }^2+4\pi e\log t}{4\pi e}]dt=$

$=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-zt-e^{2\pi e}t-(\log t{)}^2/4\pi e-\pi e+\log t]dt=$

$=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }(-t)\exp [-zt-(\log t{)}^2/4\pi e]dt=h^{\prime }(z).$

Vargott al finiss la presentazziun da la sulüzziun da cheest prublema.